Как рассчитать доверительный интервал

28.06.2025 в 20:15

Доверительный интервал позволяет оценить диапазон значений, в котором с определенной вероятностью находится истинный параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методы его расчета для разных типов данных.

Основные понятия

Формулы расчета

Для среднего значения (нормальное распределение)

ДИ = x̄ ± z*(σ/√n)

• x̄ - выборочное среднее
• z - критическое значение z-распределения
• σ - стандартное отклонение
• n - объем выборки

Для пропорции

ДИ = p̂ ± z*√(p̂(1-p̂)/n)

• p̂ - выборочная пропорция
• z - критическое значение
• n - объем выборки

Пошаговый расчет для среднего

1. Определите параметры:
   • Выборочное среднее (x̄) = 50
   • Стандартное отклонение (σ) = 10
   • Объем выборки (n) = 100
   • Доверительный уровень = 95%
2. Найдите критическое значение z:

   Для 95% → z = 1.96

3. Рассчитайте стандартную ошибку:

   SE = σ/√n = 10/√100 = 1

4. Вычислите предельную ошибку:

   E = z*SE = 1.96*1 = 1.96

5. Определите границы интервала:

   Нижняя: 50 - 1.96 = 48.04

   Верхняя: 50 + 1.96 = 51.96

Критические значения z

Особые случаи

Малая выборка (n < 30)

Используйте t-распределение вместо z:

ДИ = x̄ ± t*(s/√n)

где s - выборочное стандартное отклонение, t - критическое значение t-распределения

Разность средних

ДИ = (x̄₁ - x̄₂) ± z*√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)

Рекомендации

• Для не нормальных распределений используйте бутстреп-методы
• При работе с пропорциями учитывайте условие np(1-p) ≥ 10
• Для малых выборок применяйте поправку на конечную совокупность
• Используйте статистические пакеты для сложных расчетов

Правильный расчет доверительного интервала позволяет сделать обоснованные выводы о генеральной совокупности на основе выборочных данных.